La distribución normal y distribución binomial modelizan un gran número de fenómenos aleatorios en el ámbito social y económico, por ello reciben un nombre propio.
En este artículo se habla de una distribucion de probabilidad de tipo discreto: la distribucion BINOMIAL y una de tipo continuo, la distribución NORMAL.
En estas distribuciones se estudiará la función de cuantía o de densidad, la función de distribución, los parámetros, como el cálculo de probabilidades.
DISTRIBUCIÓN BERNUILLI
En aprender la conducta de alguna variable constantemente estamos interesados, ya que únicamente se puede tomar 2 probables resultados, ejemplificando, al divisar un producto revisar si cumple o no unas determinadas condiciones de calidad, al ver un paciente si muestra o no una cierta patología, al arrojar una moneda ver si el resultado es cara o cruz. Los sucesos probables son 2 alternativas complementarias o dicotómicas en estas situaciones y su repartición de posibilidad se llama repartición de Bernoulli.
Si consideramos un experimento aleatorio con solamente 2 probables resultados, éxito’ o ‘no éxito, y la posibilidad de triunfo es p y la posibilidad de no triunfo es q=1-p, la variable:
X=Número de éxitos logrados en el experimento muestra para su aplicación la siguiente fórmula:
P(x) = p^x*q^(1-x) para x = 0, 1
Características:
- En una repartición Bernoulli se debe conocer el valor del parámetro p, posibilidad de triunfo.
- El reparto de X se abrevia X~D(p)
- El valor deseado de X es E(X)=p
- La varianza de X es V(X)=p*q
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución Binomial se recibe como generalización del proceso de Bernoulli. Ejemplificando, si se lanza una moneda 10 veces y se define la variable X como el número de veces que ha salido cara en los 10 lanzamientos. En esta situación, la variable aleatoria puede tomar los valores completos de 0 a 10.
Si se hacen n lanzamientos independientes y la posibilidad de obtener cara es un valor p que se preserva constante en todos los lanzamientos, entonces la variable aleatoria X, que tiene el número de caras totales logradas y muestra una repartición Binomial de límites n y p.
Por tanto, en un experimento aleatorio:
- Cada vez que se hace el experimento pasa uno y únicamente uno de los próximos resultados: éxito o no éxito.
- Cada vez que se repite el experimento el resultado es sin dependencia del obtenido en las realizaciones anteriores, por lo cual la posibilidad de triunfo p es igual en cada prueba.
- Se hace el experimento n veces.
Se define la variable:
X = Exitos conseguidos en n realizaciones del experimento
La repartición Binomial de límites n y p, muestra la variable X.
La variable X hace ver la repartición Binomial de límites n y p y su funcionalidad:
Características:
- Basta conocer los valores de los fronteras n y p que la caracterizan para detectar una distribución binomial concreta.
- El reparto de X se abrevia X~B(n; p).
- Es un caso especial de repartición binomial con límites n=1 y p: X~B(1; p)=D(p), el reparto dicotómica.
- La repartición B(n;p) se recibe como suma de n distribuciones dicotómicas independientes de parámetro p.
- El valor requerido de X es E(X)=n*p.
- La varianza de X es V(X) = n*p*q.
- El reparto binomial es reproductivo en el parámetro p si se suman 2 o más variables binomiales independientes con el mismo parámetro p, la k variable resultante tiene distribución.
- La distribución de X es simétrica si p=0,5; muestra asimetría positiva si p<0,5 para cualquier valor de n. La asimetría se disminuye mientras p se aproxima a 0,5. Asimismo, para cualquier costo de p la asimetría reduce una vez que se incrementa el costo de n.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Es la distribución de probabilidad continua más importante ya que recoge el comportamiento poblacional de gran número de variables. Además la distribucion normal es la base de la inferencia estadística debido a que la distribucion de probabilidad de la mayor parte de los estadísticos muestrales.
Una variable aleatoria continua X presenta una distribucion normal de parámetros si su función de densidad es:
Existe una familia de infinitas distribuciones normales:
Características:
- La distribución normal queda identificada por dos parámetros: su valor esperado y su desviación estándar.
- La distribución de X se abrevia:
- La variable X puede tomar cualquier valor Real de menos infinito a más infinito..
- La distribución de X es campanoide y simétrica:
- El coeficiente de asimetría es 0.
- Esperanza matemática, mediana y moda coinciden.
- P(X<µ)=P(X>µ)=0,5.
- La distribución de X es mesocúrtica y su coeficiente de curtosis es 0.
- La distribución normal presenta dos puntos de inflexión en
- Es asintótica respecte al eje de abscisas.
- La distribución normal es reproductiva; al sumar o restar dos o más variables normales independientes se obtiene una nueva variable normal de parámetros
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICADA
De entre las infinitas curvas normales la correspondiente a los parámetros µ=0 y σ=1 recibe el nombre de distribución normal estandarizada presenta una especial importancia.
Su función de densidad es
Características:
- Es simétrica: P(Z<0) = P(Z>0) = 0,5.
- Presenta un máximo en z=0.
- Tiene dos puntos de inflexión -1 y +1.
- Cualquier otra variable normal X de parámetros se puede transformar en una normal estandarizada simplemente mediante la transformación lineal
- La función de distribución de esta variable, F(z), está tabulada.
La tabla permite obtener probabilidades de sucesos referidos a cualquier variable normal , ya que:
